数字逻辑电路笔记📒

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作者的废话：关于数字逻辑电路笔记，我决定全部塞在一片文章。✍️

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半加器

输入：两个1位的二进制数

输出：进位+本位

特点：不考虑低位的进位。

规定符号：

• 本位和 - S
• 半加进位 - C

因为是1位，所以输入只有1或0两种可能。那么总共就只有三种可能性：0+0=0,0+1=1,1+1=2，其中1+1=2产生了进位，本位就是0进位是1。

---

可以列出真值表(A、B为输入，S、C为输出)：

A	B	S	C
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

也可以写出逻辑表达式：

$S=A \oplus B$

$C=AB$

对应的逻辑图：

平常主要是用的是半加器的逻辑符号：

全加器

全加器与半加器唯一的区别就是考虑了低位的进位，所以输入也增加了一个：低位的进位。

规定的符号：

• 低位的进位：$C_{i-1}$

• 向高位的进位：$C_i$

• 本位：$S_i$

---

对应的真值表如下：

逻辑表达式：

$S_i=A_i\oplus B_i\oplus C_{i-1}$

$C_i=(A_i\oplus B_i)C_{i-1}+A_iB_i$

全加器对应的逻辑符号：

集成全加器

集成全加器有两种，TTL的全加器和CMOS的C661全加器

• TTl：74LS183
• CMOS：C661

需要说明的是，这里的两个集成全加器各自都有两个管角是空的，这代表这几个管角没有任何功能，不用管它。

至于原因，是为了匹配插座特意设计出来的，常用的管角数量为14、16，偏偏就是没有12管角的，所以如果设计成12个管角，很可能找不到对应的插座，于是便多出来了两个管角。

---

集成全加器的仿真：

可以在Multism中搭建如图所示的电路来仿真全加器，在你拖拽出74LS183集成电路的时候，你会发现系统会让你选择A|B，这里的A和B就是74LS183上的两个全加器，你可以选择其中的一个进行放置。

乘法器

二进制的所有运算皆基于二进制的加法器，以两位二进制相加为例。

形式如：01*11、11*11这种。

所以就可以写出表达式(这里的$A$就是$10$这种两位二进制数，里面的每一位就是$A_1$和$A_2$：

$A=A_1A_0$

$B=B_1B_0$

我们假设，$A*B=P$

那么$P=A_1A_0 * B_1B_0$

类比十进制中两位数的加法可以写出这样的式子：

$P_0=A_0B_0$

$P_1=A_1B_0+A_0B_1$

因为$P_1$中可能携带进位，所以$P_2=A_1B_1+C_1$这里的$C_1$就是$P_1=A_1B_0+A_0B_1$中可能的进位。

$P_3=C_2$这里的$C_2$是$P_2=A_1B_1+C_1$中可能的进位。

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通过这样的式字，我们可以发现两位二进制的乘法就被转化成了加法和与运算，也就是说使用全加器和与门就可以实现一个乘法器☝️🤓。

这样我们就可以写出对应的逻辑电路图（只用到了与门和加法器）。

可以在Multism中设计仿真电路图：

多位二进制的加法器

前面说到的加法器都仅限于一位的二进制之间的加法，然而对于多位二进制的加法有两种。

• 串行进位加法器
• 超前进位加法器（并行进位加法器）

1. 串行进位加法器：

可以看出这种加法器就是把全加器串在了一起，每个全加器都要等待上一个全加器的高位进位输出作为自己的输入，所以会导致一个结果☝️：不能做到同时执行加法器，运行速度缓慢。

总结一下串行进位加法器的特点：

• 电路简单，容易连接
• 速度低

2. 并行进位加法器

同样的，有下面的特点：

• 内部电路复杂
• 运行速度快(同时执行)

编码器的概念

编码的概念：将二进制转成十进制称之为解码，将十进制转换成二进制称之为编码。

编码器：将十进制转换成二进制的电路称之为编码器，简单来说就是将我们熟悉的十进制编译成计算机认识的二进制代码，所以叫做编码。

编码器的分类：

• 二进制编码器
• 二-十进制编码器
• 优先编码器

我们知道，一位二进制可以表示两种信息，两位二进制可以表示四种信息，三位则可以表示八种信息。也就是说，$n$位二进制可以表示$2^n$种信息。那么我们如果想要表示一个十进制，就需要二进制能表示的信息数量大于等于这个十进制的值。

也就是，$2^n >= N$，这里的$N$表示十进制的值，$n$则是二进制的位数。如果我们的二进制位数刚好用完了，就叫做全编码；反之，没有利用完，就叫做部分编码。

• $2^n = N$ - 全编码
• $2^n > N$ - 部分编码

二进制编码器

例如：设计一个能将$I_0,I_1,I_2,…,I_7$八个输入信号编成二进制代码输出的编码器，用与非门实现。

设计如下真值表：

然后写出对应的表达式：

例：$Y_2=\overline{I_7}·\overline{I_6} · \overline{I_5} · I_4+\overline{I_7}·\overline{I_6}·I_5+\overline{I_7}·I_6+I_7$，然后利用$A+\overline{A}·B=A+B$进行化简得到全部的逻辑表达式：

得到逻辑图：

这里$I_0$被省略不画了，只要除了$I_0$以外的输入都为0，就相当于输入了$I_0$。

优先编码器

功能：输入多个十进制数，根据优先级高低，优先取优先级最高的数字其余不看。

例如：给定优先级规则为数字越大优先级越高，那么输入多个十进制优先取数字大的作为输入，其余不看，也就是输入8、7、3这三个数，直接取8作为输入其余不看。所以下方的真值表中有八叉X，代表输入什么都无所谓，因为比他大的树字会被优先取。

真值表：

可以写出对应的逻辑表达式：

注意这里也是根据$A+\overline{A}·B=A+B$规则来华化简后的结果。

8线 - 3线优先编码器 74LS48:

• $\overline{I_0} - \overline{I_7}$：信号输入端
• $\overline{Y_2}、\overline{Y_1}、\overline{Y_0}$：编码输出端
• $\overline{ST}$：选通输入端
• $Y_s$：选通输出端
• $\overline{Y_{ES}}$：优先扩展输出端

这里加了非号，表示将所有输入和输出取非，也就是说输入从之前的1有效变成了 0 才有效。

对应的真值表：

这里的$\overline{ST}$这个整体是0的时候表示，$ST$的值是1，也就是芯片正常工作，而$\overline{ST}$这个整体为1的时候，也就是$ST$为0，就表示芯片不工作。

• $Y_s$：编码器工作，但是无编码请求为低电平，对应第二行。
• $\overline{Y_{ES}}$编码器工作，并且有编码请求时为低电平，和$Y_s$是互斥的。
• 在上面所有的输入中，$\overline{Y_7}$的优先级最高；$\overline{Y_0}$最低。

Multism仿真电路设计：

与非门RS触发器

一、电路组成：

这里的$\overline{S_D}$为置1端，称为Set；$\overline{R_D}$称为置零端，称为Reset。并且需要注意，$\overline{Q}、Q$是两个相反的输出。

只要看到输入输出为取非的符号，就需要知道这里是低电平有效。

• $Q=1$，$\overline{Q}=0$时称为触发器的1状态，即为$Q=1$.
• $Q=0$，$\overline{Q}=1$时称为触发器的0状态，即为$Q=0$.

二、逻辑功能(不考虑现态和次态)

这张图告诉我们，Set有效（置0）的时候，将Q设置为有效（置1）；Reset有效时将Q设置为无效。当Set和Reset都无效就相当于输入没有更新状态不做改变，当Reset和Set都有效是一种不合理的情况，需要避免并且在逻辑上是不被允许的。

对于RS触发器，不需要死记真值表，理解Reset和Set的概念就算学会了。

三、特性表

在上述RS触发器的基础上增加了下一次的状态$Q_{n+1}$的真值表。

• 现态$Q_n$：触发器接收输入信号之前的状态。
• 次态$Q_{n+1}$：触发器接收到输入信号之后的状态。

现态和次态是两个相邻时间里触发器输出端的状态。

真值表：

注意⚠️：低电平（置零）有效。

约束条件：$\overline{R_D}+\overline{R_S}=1$，因为当两者都是零的时候触发器不允许，满足约束条件意味着有效输入。

四、特性方程

由于上面这张真值表有重复信息($Q_n$和$Q_{n+1}$重复，没必要都写)，我们可以将其化简后得到特性方程。

用卡诺图表示出来：

得到特性方程：

• $Q^{n+1}=S_D+\overline{R_D}·Q^n$
• 约束条件：$\overline{R_{D}}+\overline{S_D}=1$

五、状态转换图

X表示0或者1两种情况。

六、驱动表

根据输出来判定输入的情况的真值表叫做驱动表。

[例1]：设触发器初始状态为0，试对应输入波形画出$Q$和$\overline{Q}$的波形。

这里$\overline{Q}$省略，将$Q$取反即可。

[例2]：信号的分时撤销和同时撤销。

上面提到，当Reset和Set同时有效也就是违反约束条件的情况，这时需要将信号调整成正常的情况，那么就会出现信号的分时撤销和延时撤销。

我们知道0为有效电平，当$\overline{S_D}$和$\overline{R_D}$都为0时同时有效，信号撤销就是：(0 -> 1)。

分时撤销：

分时撤销取决于后撤销的信号，跟正常状态相同的分析。

例如，上图中$\overline{S_D}$最先变成了1，就是先撤信号，那么$\overline{R_D}$就是后撤信号，由后撤信号决定波形，所以属于正常情况中的Reset有效的情况，结果是$Q=0$；见下图。

同时撤销：

同时撤销根据电路内部的延时状态等复杂情况决定谁先起作用，状态不定(竞态)。

或非门RS触发器

一、电路组成：

二、逻辑功能

三、特性表

注意：与与非门RS触发器不同，高电平有效。

约束条件：$R_D·S_D=0$

可以得到简化的特性表：

画出卡诺图如下：

得到最终的特性方程：

两种RS触发器的对比

逻辑符号对比：

可以发现，

• 与非门RS触发器低电平有效，或非门RS触发器高电平有效。
• 与非门RS触发器左边为Set端口，右边为Reset端口；或非门RS触发器左边为Reset端口，右边为Set端口。

基本RS触发器的优缺点如下：

• 优点：电路简单，是构成各种触发器的基础🎉。
• 缺点：输入有约束条件；抗干扰能力差👎。

同步RS触发器

一、电路组成

与原来的与非门RS触发器相比增加了两个与非门，由时钟CP控制的门$G_3,G_4$。并且可以看出，在CP置0️⃣的时候，上方的与非门$RS$触发器一定是两个$1$的输入，此时一定为保持状态。只有当$CP$置1️⃣的时候才会工作。

二、逻辑功能

特性表如图所示：

高电平为有效信号📶。

对应的逻辑符号：

包含异步端的同步RS触发器的逻辑符号如下：

• $R、S$被称为同步输入端的原因：$R、S$输入会收到$CP$端的影响，一旦$CP$置$0$，$R、S$端就被封锁了。
• $\overline{S_D}、\overline{R_D}$被称为异步输入端的原因：只要有一个起作用，输出就可以起作用不受CP端的影响。

$S_D、R_D$可以起到预置触发器初始状态的作用，平时不工作时需要将$\overline{R_S}、\overline{S_d}$置为$1$。其实所谓的同步输入端与异步输入端就是看受不受到$CP$端的控制，收到控制就得等到一起作用，不受到控制就异步了。

三、特性表 => 特性方程

这个特性方程有效的前提一定是$CP$等于$1$。

四、状态转换图

容易得到对应的状态转换图：

五、同步RS触发器的优缺点

• 优点：有了$CP$之后抗干扰能力增强，因为只要$CP$为$0$的时候能起到封锁作用，这时候无论怎么干扰都是保持的状态。
• 缺点：仍然存在不定状态，$R、S$之间还是有约束条件。

一个需要注意的细节⚠️：如果$R、S$为$1$这时是处于无效状态，如果这个时候$CP$从$1$变成$0$但是$R、S$保持不变就会出现不定状态，具体见下图。

同步D触发器

一、电路组成

下图中左边为内部的电路组成，右边为逻辑表示：

不难发现，同步D触发器就是把同步RS触发器 S和R用一个非门化简成了D，这样的好处就是完美地规避了约束条件的问题。

• $S=D, R=\overline{D}$

其他特性和同步RS触发器保持一致，都收到CP端的控制。

二、逻辑功能

功能也很简单，D端是1就置1，D端是0就置0。不存在输入有问题的情况，CP端置零也和原来一样起保持的作用。

三、卡诺图与特性方程

四、状态转移图

五、同步触发器的特点

• 优点：无需考虑约束条件的问题，优于同步RS触发器。
• 缺点：仍然存在空翻现象，限制了同步D触发器的应用。

六、集成同步D触发器：74LS375

这块芯片拥有13块管脚，可以理解为四个同步D触发器的拼接。

它的内部结构和上文提到的同步D触发器有所不同，区别在于上方的两个与非门被换成了或非门，下方的两个与非门被换成了与门，我们知道或非门的RS触发器的输入端左边是R右边是S，并且是高电平有效，所以D也在右边，为了和S端保持一致。

边沿D触发器

特性：只在时钟脉冲CP的上升沿或者下降沿接收输入信号，在其他的CP状态触发器不接受数据，并且保持原态。

上升沿与下降沿：如下图中的两个红色箭头就分别表示上升沿和下降沿。

一、电路组成

这是一个下降沿D触发器的电路组成图。

可以看出，边沿D触发器就是由两个同步D触发器上下拼接在一起，并且经过了一些特殊的改进而组成。不难分析出来，主从触发器是互斥的，主触发器工作，从触发器一定不工作；从触发器工作，主触发器也不会工作。

下降沿触发器的工作原理图：

在CP变化的时候，如果CP是从0->1，我们称为上升沿；如果CP是从1->0，我们称为下降沿。可以类比成下面这个水管图，上升沿CP变成了1，那么主触发器就工作了，左边的阀门打开。并且，这个时候从触发器不工作，所以右边的阀门关闭。这个时候就是保持。

但是如果CP从1->0，也就是下降沿。那么主阀门关闭，从阀门打开，这个时候$Q=D$，更新状态。所以，综上所述，下降沿时$Q=D$，其他时候一直起到保持的作用。

逻辑符号：

不难发现，其实他长得和同步D触发器一样，所以为了区分他们两个，给边沿D触发器的$C_1$下面增加了一个三角形，表示边沿触发器。这里的小圆圈⭕️表示下降沿有效，如果没有⭕️就表示上升沿有效。

二、特性方程、特性表

波形图分析：

可以看出来，边沿触发器有一个区别于同步D触发器的很明显的特点：稳定，不容易“空翻”。

空翻现象就是指的是在CP没有变化的时候，$Q=D$，输出跟随D改变的现象。因为对于边沿触发器来说，只要不是位于下降或者上升的边沿情况，都是保持的，也就不容易“空翻”了。

三、集成边沿D触发器：74LS74

对应的芯片管脚图和逻辑图：

这里的$\overline{S_D}和\overline{R_D}$都是低电平有效的异步输入端，这里的CP没有⭕️，所以需要注意它是上升沿🔝边沿D触发器。跟上面的下降沿是相反的，它在上升沿才有效，这点不要弄错了。

带有异步端边沿触发器的特性表：

异步端优先级很高，一般起到预输入的作用，如果D和CP需要工作，一般需要将异步端置为零。但也可以利用它优先级高的特性，在工作中利用异步输入端强行置1或置0🤔。

带有异步输入端上升沿D触发器波形图分析：

四、边沿D触发器的特点

优点：

• CP的上升沿或下降沿触发。
• 抗干扰能力强，解决了同步触发器的“空翻”现象。

缺点：

• 只有置1或置0功能，功能有限不方便。

边沿JK触发器

一、电路组成

可以看出，边沿JK触发器是从边沿D触发器进行一些扩展得到的，右边这部分就是我们所学的边沿D触发器。

逻辑符号：

这里的三角形表示边沿，小⭕️代表下降沿触发；如果没有这个小三角形就变成了同步触发器。

二、工作原理

我们知道，右边这部分是边沿D触发器，它的特性方程是这样的：
$$
Q^{n+1}=D
$$

我们加上左边新增的逻辑门电路，对他进行化简就能得到新的特性方程：

$$ S^{n+1}=J \overline{Q^n}+\overline{K}Q^n(CP⬇️) $$ 三、特性表

同样的可以得到它的特性表和简化特性表，通过这个特性表可以看出JK边沿触发器非常的强大，被称之为功能最齐全的一种触发器。拥有保持、置一、置零、翻转、防空翻功能。所以它也是使用最广泛的一种触发器。

波形图分析：

$\overline{Q}$和$Q$完全相反，这里没有写出来。

四、集成边沿JK触发器：74LS112

对应的芯片管脚图和逻辑图如下图所示：

注意⚠️：这里的异步输入端是低电平0️⃣有效，触发器是下降⬇️沿触发的。

异步边沿JK触发器 74LS112对应的特性表如下图所示：

可以看出，和之前的边沿D触发器芯片一样，带有异步输入端后，异步输入端的优先级最高。并且在工作时，异步端置1️⃣，防止干扰JK触发器正常工作。同时，两个异步输入端不能同时为0️⃣，否则无效。

对应波形图的分析：

T触发器和T’触发器

T触发器和T’触发器都是由JK触发器或D触发器构成，主要用来简化集成计数器的逻辑电路。

一、T触发器

T触发器拥有翻转和保持两个功能。并且，又可以分为上升沿和下降沿两种T触发器。

逻辑符号：

特性表：

T触发器的功能就是，在下降沿到来的时候，T为0就保持，T为1就翻转。

特性方程比较简单：
$$
Q^{n+1}=T\oplus Q^n
$$

很容易看出来是异或。

用一个波形图进行分析：

二、T’触发器

T’触发器比T触发器还要简单，它的功能是在下降或者上升沿是进行一次翻转。

逻辑符号与特性表：

特性方程：
$$
Q^{n+1}=\overline{Q^n}(CP⬇️)
$$
利用波形图进行分析：

所以，T’触发器实际上就是一个“二分频器“，因为CP周期在T’的作用下变成Q被分成了远来的1/2。

主从JK触发器

• J端：是由原来的Set变化而来
• K端：是由原来的Reset变化而来

JK触发器和RS触发器基本一样，唯一的不同是当J和K都置1时由原来的不允许变成了翻转。

真值表与特性方程：

逻辑符号：

CP：正脉冲触发，表示在高电平接收信号，在下降沿时刻更新输出状态。

同步时序电路的设计

一、基本步骤

[例题-1]

设计一个按自然态序变化的同步七进制加法计数器，计数规则为逢七进一，产生一个进位输出。

解：

1. 建立状态转化图

   

   这里的/0和/1为是否进位的表示，也就是进位的输出，只有逢七才进一位。所以在110的时候加一才会进位，这时候是/1。

2. 求方程

   • 时钟方程：$CP_0=CP_1=CP_2=CP$

   • 输出方程：

     

     $Y={Q_2}^n {Q_1}^n$作为电路的进位输出

   • 状态方程：

     先画出次态的卡诺图，再拆分开得各触发器的卡诺图。

     次态卡诺图：

     

     拆开后各触发器的卡诺图：

     

3. 求驱动方程

   变换状态方程，使之形式与选用触发器的特性方程一致，比较后得驱动方程。

   • $JK$触发器的特性方程：$Q^{n+1}=J\overline{Q^n}+\overline{K}Q^n$

   • 比较并得到驱动方程：

     

4. 画电路图

   结合驱动方程和输出方程画出电路图：

   

5. 检查电路是否能自启动

   能从无效的状态自己返回到正常状态称为自启动。

   • 无效状态：$111$

   • 状态方程：

     

   • 输出方程：

     $Y={Q_2}^n {Q_1}^n$

   将无效状态带入到状态方程，得到次态为000，并且输出是1，所以可以自启动。

   检验后得到对应的状态转换图：

   

6. Multism 仿真电路图：